dc.contributor
dc.contributor.advisor	Plešinger Martin, doc. Ing. Ph.D. : 55532
dc.contributor.author	Košková, Barbora
dc.contributor.other	Kolář Milan, doc. Ing. CSc. Skolitel : 54736
dc.contributor.other	Vrbík Daniel, Mgr. Ph.D. Konzultant : 63768
dc.contributor.other	Loosová Jana, Ing. Ph.D. Konzultant2 : 66340
dc.date.accessioned	2018-11-19T14:34:07Z
dc.date.available	2018-11-19T14:34:07Z
dc.date.committed	2018-5-2
dc.date.defense	2018-6-18
dc.date.submitted	2017-3-14
dc.date.updated	2018-7-3
dc.degree.level	Bc.
dc.description.abstract	Tato bakalářská práce se zabývá problematikou práce s hustými maticemi pomocí konceptu tzv. hierarchických matic. Takové husté matice často vznikají např. jako inverze matic řídkých. Na příkladu třídiagonálních matic a s využitím jejich spektrálních vlastností ukážeme, že jejich hustá inverze má veškeré mimodiagonální bloky hodnosti nejvýše jedna. Toto pozorování lze v jistém smyslu zobecnit na řadu dalších řídkých matic, které můžeme nalézt v mnoha úlohách z reálného světa, fyzikálních, inženýrských, atd.V práci zavedeme koncept hierarchických matic, jejichž základním kamenem je stromová struktura (typicky např. binární strom, jak jej známe z teorie grafů), která popisuje rekurzivní členění matice na bloky. Dále se v práci soustředíme na základní operace s takovými maticemi. Ukážeme, v jakém smyslu je lze zejména sčítat a násobit. Hlavní nástroj, který při popisu operací používáme, je tzv. low-rank aritmetika matic. Ta využívá maticových rozkladů (zejména QR rozklad a singulární rozklad (SVD)) k chytré manipulaci s bloky nízké hodnosti a ke kompresi výsledku operací.	cs
dc.description.abstract	The bachelor thesis focuses on a work and manipulation with dense matrices using the concept of so-called hierarchical matrices. Such dense matrices often appear, e.g., as inversions of sparse matrices. On the example of tridiagonal matrices and by employing their spectral properties, we demonstrate that their dense inverses have off-diagonal blocks of a low rank (not more than one). This observation can be generalized to a lot of other cases of sparse matrices, which can be found in many real-world problems in physics, engineering, etc.In the thesis we introduce the concept of hierarchical matrices, where the key idea is the tree structure (e.g., a binary tree, which we know from graph theory) that describes a recursive partitioning of the matrix into blocks. We also focus on basic operations with these matrices. We show in which way it is possible to do the matrix addition and multiplication. The main tool that we use for describing these operations is so-called low-rank arithmetic of matrices. It employs matrix decompositions (especially the QR decomposition and singular value decomposition (SVD)) for smart manipulation with low-rank blocks and for compression of the result of operations.	en
dc.description.mark
dc.format	49 s.
dc.format.extent	Ilustrace, Grafy, Tabulky , Tabulky, Mapy , Tabulky, Mapy , Grafy, Mapy , Tabulky, Mapy 0, Grafy, Tabulky, Mapy
dc.identifier.uri	https://dspace.tul.cz/handle/15240/32407
dc.language.iso	cs
dc.relation.isbasedon	M. Bebendorf: Hierarchical Matrices, Edice Lecture notes in computational science and engineering (LCNSE) 63, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008. http://www.springer.com/la/book/9783540771463
dc.relation.isbasedon
dc.relation.isbasedon	S. Börm: Efficient Numerical Methods for Non-local Operators: H^**2-Matrix Compression, Algorithms and Analysis, Edice EMS Tracts in Mathematics 14, European Mathematical Society, Zürich, 2010. http://www.ems-ph.org/books/book.php?proj_nr=125
dc.relation.isbasedon
dc.relation.isbasedon	S. Chandrasekaran, P. Dewilde, M. Gu, W. Lyons, T. Pals: A fast solver for HSS representations via sparse matrices, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Volume 29, Number 1 (2006), pp. 67-81. (15 pages) http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/050639028
dc.relation.isbasedon
dc.relation.isbasedon	G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computations (Fourth Edition), Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 2012. https://jhupbooks.press.jhu.edu/content/matrix-computations-0
dc.relation.isbasedon
dc.relation.isbasedon	W. Hackbusch: Hierarchische Matrizen: Algorithmen und Analysis, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2009. http://www.springer.com/la/book/9783642002212
dc.relation.isbasedon
dc.relation.isbasedon	S. Pauli: A numerical solver for Lyapunov equations based on the matrix sign function iteration in HSS arithmetic, Semester Thesis, SAM, ETH Zurich, 2010.
dc.rights	Vysokoškolská závěrečná práce je autorské dílo chráněné dle zákona č. 121/2000 Sb., autorský zákon, ve znění pozdějších předpisů. Je možné pořizovat z něj na své náklady a pro svoji osobní potřebu výpisy, opisy a rozmnoženiny. Jeho využití musí být v souladu s autorským zákonem https://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf a citační etikou https://knihovna.tul.cz/document/26	cs
dc.rights	A university thesis is a work protected by the Copyright Act. Extracts, copies and transcripts of the thesis are allowed for personal use only and at one?s own expense. The use of thesis should be in compliance with the Copyright Act. https://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf and the citation ethics https://knihovna.tul.cz/document/26	en
dc.rights.uri	https://knihovna.tul.cz/document/26
dc.rights.uri	https://www.mkcr.cz/assets/autorske-pravo/01-3982006.pdf
dc.subject	třídiagonální matice	cs
dc.subject	vlastní čísla	cs
dc.subject	husté matice	cs
dc.subject	husté inverze řídkých matic	cs
dc.subject	hierarchické matice	cs
dc.subject	low-rank aritmetika matic	cs
dc.subject	stromy (teorie grafů)	cs
dc.subject	tridiagonal matices	en
dc.subject	eigenvalues	en
dc.subject	dense matrices	en
dc.subject	dense inverses of sparse matrices	en
dc.subject	hierarchical matrices	en
dc.subject	low-rank arithmetic of matrices	en
dc.subject	trees (graph theory)	en
dc.title	Hierarchické matice: Moderní přístup k práci s velkými hustými maticemi	cs
dc.title	Hierarchical matrices: A contemporary approach for large-scale dense matrices	en
dc.title.alternative		cs
dc.type	bakalářská práce	cs
local.degree.abbreviation	Bakalářský
local.degree.discipline	MA-AJ
local.degree.programme	Matematika
local.degree.programmeabbreviation	B1101
local.department.abbreviation	KMD
local.faculty	Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická	cs
local.faculty.abbreviation	FP
local.identifier.author	P15000329
local.identifier.stag	36146
local.note.administrators	automat

Hierarchické matice: Moderní přístup k práci s velkými hustými maticemi

Files

Original bundle

Collections