Spektrální vlastnosti diskretizovaného Laplaceova operátoru
Loading...
Date
2025-01-22
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Abstract
Práce se zabývá analýzou spektrálních vlastností diskretizovaného Laplaceova operátoru (Laplaciánu). Operátor uvažujeme pouze na intervalu, pracujeme tedy pouze s 1D Laplaciánem. Diskretizaci realizujeme pomocí metody konečných diferencí, typicky s ekvidistantním dělením. Druhou diferenci přitom zavádíme jako centrální. Laplacián uvažujeme s různými okrajovými podmínkami. Konkrétně uvažujeme periodickou okrajovou podmínku, Dirichletovu okrajovou podmínku, Neumannovu okrajovou podmínku a obě možné kombinace dvou posledně zmíněných.
Ústřední částí práce je analýza vlastních čísel a vlastních vektorů těchto operátorů v závislosti na uvažovaných okrajových podmínkách. Pro každou okrajovou podmínku zformulujeme větu, která analyticky popíše, jak vlastní čísla a vlastní vektory vypadají. Každou z těchto vět poté dokážeme. Následně zmíníme některé další vybrané zajímavé spektrální vlastnosti.
V poslední části práce stručně zmíníme (pouze formou numerického experimentu), jak se situace změní, pokud budeme uvažovat neekvidistantní dělení intervalu.
This thesis focuses on spectral properties of discretizad Laplace operator Laplacian). We consider Laplacian only on an interval, i.e., we work only with 1D Laplacian. Operater is discretized by the finite difference method, mostly with equidistant partitioning of the interval. We second differece is handled as central difference. Laplacian is considered with several boundary conditions. In particualar the periodic boundary condition, Dirichlet boundary condition, Neumann boundary condition and both combinations of the last two mentioned. The main part of the thesis is dvoted to the analysis of eigenvalues and eigevectors of these operators w.r.t. different boundary conditions. For each of them, we formulate a theorem that gives analytic description of the eigenvalues an eigevectors. All these theorems are proved. We also provide some further selected interesting spectral properties of these matrices. Finally we briefly show (only in the form of numerical experiment) how the things are changed, under non-equidistant discretization of our interval.
This thesis focuses on spectral properties of discretizad Laplace operator Laplacian). We consider Laplacian only on an interval, i.e., we work only with 1D Laplacian. Operater is discretized by the finite difference method, mostly with equidistant partitioning of the interval. We second differece is handled as central difference. Laplacian is considered with several boundary conditions. In particualar the periodic boundary condition, Dirichlet boundary condition, Neumann boundary condition and both combinations of the last two mentioned. The main part of the thesis is dvoted to the analysis of eigenvalues and eigevectors of these operators w.r.t. different boundary conditions. For each of them, we formulate a theorem that gives analytic description of the eigenvalues an eigevectors. All these theorems are proved. We also provide some further selected interesting spectral properties of these matrices. Finally we briefly show (only in the form of numerical experiment) how the things are changed, under non-equidistant discretization of our interval.
Description
Subject(s)
Laplaceova rovnice; Poissonova rovnice; Laplaceův operátor; metoda konečných diferencí; periodická okrajová podmínka; Dirichletova okrajová podmínka; Neumannova okrajová podmínka; smíšená okrajová podmínka; vlastní čísla; vlastní vektory; neekvidistantní diskretizace