Algebraicko-geometrická varianta eukleidovské konstrukce pravidelných mnohoúhelníků

Abstract
Je známo relativně málo pravidelných n-úhelníků (mnohoúhelníků o n vrcholech), kde n je liché prvočíslo, které lzenarýsovat pouze s využitím pravítka a kružítka, tj. jsou takzvaně eukleidovsky konstruovatelné.Které to jsou, je známo, již od dob J. C. F. Gausse, který je charakterizoval. Nejjednoduššímz nich je rovnostranný trojúhelník, který umíme zkonstruovat už od základní školy. Konstrukcepravidelného pětiúhelníku je také běžně známá, v případě sedmnáctiúhelníku už to ale tak jednoduchénení. U zbylých dvou n-úhelníků (pro n rovno 257, nebo 65537) je konstrukce praktickytéměř neproveditelná.Cílem práce je zrekapitulovat základní teoretické poznatky o eukleidovsky konstruovatelnýchpravidelných mnohoúhelnících. Dále pak jazykem algebraických struktur popíšemesoubor paralel mezi vybranými aritmetickými operacemi (mezi tzv. konstruovatelnými a přirozenými čísly)a jejich geometrickou reprezentací. Výsledkem by tedy měl být soubor jednoduchých parametrizovanýchgeometrických konstrukcí (geometrických mikroalgoritmů), které mi umožní konstruovat složitější algebraickévýrazy. Výstup tétobakalářské práce pak bude podkladem pro systém (využívající symbolické výpočty v Matlabu a geometrickýsoftware GeoGebra) pro automatické generování eukleidovských konstrukcí složitějších pravidelných mnohoúhelníků.
There is only a few regular n-gons (polygons with n vertices), where n is an odd prime, that can be constructedonly by using ruler and compass, i.e. by using so-called Euclidean construction.It is well known which polygons can be constructed since J. C. F. Gauss, who charaterzied them. The simplest oneis an equilateral triangle, that we are able to draw since elementary school. The construction ofa regular pengagon is also very simple and relatively known. On the other hand, construction of regularheptadecagon starts to be really complicated. The other two n-gons (for n equal to 257, or 65537),it is practically impossible to do the construction.The goal of this thesis is to summarize the basic theoretical knowlege about regularpolygons that can be drawn by using the ruler-and-compass construction. Further, byepmloying the language of algebraic sturctures, we describe a representation ofselected parts of arithmetics (of so-called constructible and natural numbers)in geometry. We obtain in this way a set of simple paramatrized geometric constuctions(geometric microalgorithms), that can be used for geometric construstions of more complicatedalgebraic expressions. The outcome of this thesis is a base for a system (employingthe symbolic calculations in Matlab and GeoGebra geometric software) for automatedgenerating of ruler-and-compass constructions of more complicated regular polygons.
Description
Subject(s)
eukleidovská konstrukce, konstrukce kružítkem a pravítkem, Wanzelova metoda, konstuovatelná čísla, pravidelné mnohoúhelníky, konstrukce pětiúhelníku, konstrukce sedmnáctiúheníku, Fermatova prvočísla, Euclidean constructions, ruler-and-compass construction, Wanzel method, constructible numbers, regular polygons, construction of pentagon, constructionof heptadecagon, Fermat primes
Citation
ISSN
ISBN